🧮Kalkulatorbanken

Derivasjon-kalkulator

Deriver polynomer med utregning ledd for ledd, finn tangent i et punkt, den dobbeltderiverte og topp- og bunnpunkter.

Sist oppdatert

Polynom i x, for eksempel 3x^2 − 5x + 2 eller x^4 + 2x. Bruk ^ for potens.

Brukes til f(x), f′(x) og tangenten.

f′(x)

3x² − 6x + 2

f″(x)

6x − 6

Utregning ledd for ledd

f(x) = x³ − 3x² + 2x − 5

  • (x³)′ = 1 · 3 · x² = 3x²
  • (−3x²)′ = −3 · 2 · x = −6x
  • (2x)′ = 2 · 1 = 2
  • (−5)′ = 0 (konstantledd)

Regel: (c · xⁿ)′ = c · n · xⁿ⁻¹, og konstanter deriveres til 0.

f(2)

−5

f′(2)

2

Stigningstall til tangenten

Tangent i punktet

y = 2x − 9

Tangenten: y = f′(2) · (x − 2) + f(2) = 2 · (x − 2) + −5.

Topp-, bunn- og terrassepunkter (f′(x) = 0)

  • Toppunkt i (0,42265, −4,6151), f″(0,42265) = −3,464102
  • Bunnpunkt i (1,57735, −5,3849), f″(1,57735) = 3,464102

Slik fungerer det

Derivasjon er et av de viktigste emnene i videregående matematikk (R1 og S2). Den deriverte f′(x) sier hvor bratt grafen til f er i punktet x, og brukes til å finne tangenter, topp- og bunnpunkter og til å regne på endringsrater som fart og vekst. Kalkulatoren deriverer polynomer ledd for ledd, viser regelen som brukes, og regner ut f(a), f′(a) og tangenten i et punkt du velger. For tredjegradsfunksjoner og lavere finner den også topp-, bunn- og terrassepunkter.

Reglene som brukes

  • Konstantregelen: (c)′ = 0
  • Potensregelen: (xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹
  • Konstant faktor: (c · f)′ = c · f′
  • Summeregelen: (f + g)′ = f′ + g′ (og tilsvarende for differanse)

Regneeksempel med tangent

La f(x) = x³ − 3x² + 2x − 5. Da er f′(x) = 3x² − 6x + 2. I punktet x = 2 er f(2) = −5 og f′(2) = 2. Tangenten er y = 2 · (x − 2) + −5, altså y = 2x − 9. Tangenten er en rett linje, så du kan undersøke den videre med kalkulatoren for lineære funksjoner.

Topp- og bunnpunkter

Der grafen har et topp- eller bunnpunkt er tangenten vannrett, så f′(x) = 0. For f(x) = x³ − 3x gir f′(x) = 3x² − 3 = 0 løsningene x = −1 og x = 1 (løst med abc-formelen). Med f″(x) = 6x er f″(−1) = −6 (toppunkt) og f″(1) = 6 (bunnpunkt).

Tabell: vanlige derivasjoner

f(x)f′(x)
x²2x
x³3x²
5x⁴20x³
3x² − 5x + 26x − 5
x³ − 3x3x² − 3
7x + 17
40

Vanlige feil

Studenter glemmer ofte å trekke fra 1 i eksponenten, eller å derivere konstantleddet til 0 (ikke til seg selv). En annen feil er å skrive 3x² som 3 · x² og derivere tallet 3 til 0, men en konstant faktor beholdes. Husk også at løsninger av f′(x) = 0 bare er kandidater: bruk f″(x) eller fortegnsskjema for å avgjøre om det er topp, bunn eller terrassepunkt.

Kilder: Store norske leksikon – derivasjon, Store norske leksikon – derivert funksjon, Store norske leksikon – tangent (matematikk)

Ofte stilte spørsmål

Hva er derivasjon?
Å derivere en funksjon betyr å finne den deriverte, som forteller hvor fort funksjonen endrer seg i hvert punkt. Geometrisk er f′(a) stigningstallet til tangenten til grafen i punktet x = a. Store norske leksikon beskriver den deriverte som grenseverdien til forholdet mellom endring i funksjonsverdi og endring i x.
Hva er potensregelen for derivasjon?
(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹, og en konstant foran følger med: (c · xⁿ)′ = c · n · xⁿ⁻¹. Eksempel: (5x⁴)′ = 5 · 4 · x³ = 20x³. En konstant alene deriveres til null, og (x)′ = 1. For f(x) = 3x² − 5x + 2 er f′(x) = 6x − 5.
Hvordan finner jeg likningen til tangenten?
Regn ut f(a) og f′(a), og bruk y = f′(a) · (x − a) + f(a). For f(x) = x² i x = 3 er f(3) = 9 og f′(3) = 6, så tangenten er y = 6x − 9.
Hvordan finner jeg topp- og bunnpunkter?
Løs f′(x) = 0, og sjekk fortegnet til f″(x) i løsningene. Negativ f″ gir toppunkt, positiv gir bunnpunkt. For f(x) = x³ − 3x er f′(x) = 3x² − 3, med toppunkt (−1, 2) og bunnpunkt (1, −2). Kalkulatoren viser dette for polynomer til og med tredje grad.
Hvilke funksjoner kan kalkulatoren derivere?
Polynomer i x, altså summer av ledd som c · xⁿ med n som ikke-negativt heltall. Funksjoner som sin x, ln x, eˣ, brøker og røtter støttes ikke, og kalkulatoren gir da en beskjed i stedet for et gjettet svar. Skriv røtter og brøker som potenser når det går, men her godtas bare heltallseksponenter.
Hva er den dobbeltderiverte?
Den dobbeltderiverte f″(x) er den deriverte av f′(x). Den forteller om grafen krummer opp (f″ > 0) eller ned (f″ < 0). For x³ − 3x² + 2x − 5 er f″(x) = 6x − 6.

Relaterte kalkulatorer

→Likning-kalkulator→Stigningstall og lineær funksjon→Potens- og logaritme-kalkulator→Trigonometri-kalkulator

Alle beregninger skjer i nettleseren din — ingen data lagres eller sendes.