🧮Kalkulatorbanken

Likning-kalkulator

Løs likninger med utregning: førstegradslikning, andregradslikning med abc-formelen og likningssett med to ukjente. Se hvert steg og få prøve på svaret.

Sist oppdatert

Type likning

Løs a·x² + b·x + c = 0 med abc-formelen.

x₁

2

x₂

3

Diskriminant D

1

Bunnpunkt

(2,5, −0,25)

Utregning

  1. 1x² + (−5)x + 6 = 0, altså a = 1, b = −5, c = 6
  2. Diskriminanten: D = b² − 4ac = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 1
  3. D er positiv, så det er to løsninger: x = (−b ± √D) / 2a = (5 ± √1) / 2
  4. √1 = 1
  5. x₁ = (5 − 1) / 2 og x₂ = (5 + 1) / 2
  6. x = 2 eller x = 3

Slik fungerer det

En likning er to uttrykk som er satt lik hverandre, og å løse den betyr å finne verdien av den ukjente som gjør begge sider like. Kalkulatoren løser de tre vanligste typene i norsk skole: førstegradslikninger, andregradslikninger med abc-formelen og likningssett med to ukjente. Til forskjell fra en vanlig kalkulator viser den hele utregningen, slik at du kan sammenligne med din egen løsning og finne hvor du eventuelt gjorde en feil.

Førstegradslikning

Regelen er at du kan gjøre det samme med begge sider. Flytt x-leddene til venstre og tallene til høyre (bytt fortegn når leddet krysser likhetstegnet), og del på tallet foran x. Eksempel: 3x + 5 = x + 11 gir (3 − 1)x = 11 − 5, altså 2x = 6, og dermed x = 3. Prøve: 3 · 3 + 5 = 14 og 3 + 11 = 14.

Andregradslikning og abc-formelen

En andregradslikning har formen ax² + bx + c = 0 med a ≠ 0. Løsningen er x = (−b ± √D) / 2a der D = b² − 4ac. For x² − 5x + 6 = 0 er D = 1, og løsningene er x = 2 og x = 3. Toppunktet eller bunnpunktet ligger midt mellom løsningene, ved x = −b / 2a, og kalkulatoren viser også dette. Har du en likning som x² = 16, skriver du den først som x² − 16 = 0. Se også faktorisering for å skrive uttrykket som (x − x₁)(x − x₂).

LikningDLøsning
x² − 5x + 6 = 01x = 2 eller x = 3
x² + 2x − 8 = 036x = −4 eller x = 2
2x² − 4x − 6 = 064x = −1 eller x = 3
x² − 6x + 9 = 00x = 3
x² − 16 = 064x = −4 eller x = 4
x² + 4 = 0−16ingen reelle

Likningssett med to ukjente

To likninger med x og y beskriver to rette linjer, og løsningen er punktet der de krysser hverandre. Settet 2x + 3y = 12 og 4x − y = 10 har determinant D = −14 og løsning x = 3, y = 2. Er D = 0, er linjene parallelle (ingen løsning) eller identiske (uendelig mange). Vil du tegne og lese av linjene, kan du bruke kalkulatoren for lineære funksjoner.

Vanlige feil

Glemt fortegnsskifte når et ledd flyttes over likhetstegnet er den vanligste feilen. Neste er å bruke abc-formelen uten å sette likningen lik null først, og å glemme parentes rundt negative tall når b og c settes inn. Til slutt: husk at √D gir to løsninger, både pluss og minus. Kontroller alltid ved å sette svaret tilbake i likningen.

Kilder: Store norske leksikon – ligning (likning), Store norske leksikon – diskriminant, Store norske leksikon – andregradsfunksjon

Ofte stilte spørsmål

Hvordan løser jeg en likning?
Du gjør det samme på begge sider av likhetstegnet til x står alene. For en førstegradslikning flytter du alle x-ledd til den ene siden og tallene til den andre, og deler på tallet foran x. Kalkulatoren viser hvert steg og gjør en prøve ved å sette svaret inn i den opprinnelige likningen.
Hva er abc-formelen?
For a·x² + b·x + c = 0 er x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. Uttrykket under rottegnet, D = b² − 4ac, kalles diskriminanten. Store norske leksikon beskriver diskriminanten som det som avgjør hvor mange løsninger en andregradslikning har.
Hva betyr det at diskriminanten er negativ?
Da finnes ingen reelle løsninger, fordi du ikke kan ta kvadratroten av et negativt tall i de reelle tallene. Grafen til andregradsfunksjonen krysser aldri x-aksen. På videregående oppgir man da at likningen ikke har noen løsning.
Hvordan løser jeg et likningssett med to ukjente?
De vanligste metodene er innsetting, addisjon (eliminasjon) og determinanter. Kalkulatoren bruker determinanter (Cramers regel): x = (c₁b₂ − c₂b₁) / D og y = (a₁c₂ − a₂c₁) / D, der D = a₁b₂ − a₂b₁. Er D lik null, har settet enten ingen løsning (parallelle linjer) eller uendelig mange (samme linje).
Når har en likning ingen løsning eller uendelig mange?
Får du 0 = 5 eller en annen usann påstand etter forenkling, har likningen ingen løsning. Får du 0 = 0, er likningen sann for alle x. Eksempel: 2x + 3 = 2x + 5 har ingen løsning, mens 2x + 3 = 2x + 3 er sann for alle x.
Kan kalkulatoren løse likninger med brøk eller x i nevneren?
Nei, den løser lineære likninger, andregradslikninger og likningssett med to ukjente. Har du brøker, må du først multiplisere hele likningen med fellesnevneren slik at brøkene forsvinner, og deretter skrive den på formen a·x + b = c·x + d.

Relaterte kalkulatorer

→Faktorisering-kalkulator→Stigningstall og lineær funksjon→Potens- og logaritme-kalkulator→Kvadratrot-kalkulator

Alle beregninger skjer i nettleseren din — ingen data lagres eller sendes.