🧮Kalkulatorbanken

Integral-kalkulator

Finn ubestemt og bestemt integral av polynomer, arealet under grafen og gjennomsnittsverdien, med utregning ledd for ledd.

Sist oppdatert

Polynom i x, for eksempel 3x^2 − 5x + 2. Bruk ^ for potens.

Ubestemt integral ∫ f(x) dx

x³/3 − 4x + C

Utregning ledd for ledd

f(x) = x² − 4

  • ∫ x² dx = x³/3
  • ∫ −4 dx = −4x

Regel: ∫ c · xⁿ dx = c · xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C, og ∫ k dx = kx + C.

Bestemt integral fra −2 til 2

−10,666667

Fortegnet regnes med

Areal mellom grafen og x-aksen

10,666667

Alltid positivt

Gjennomsnittsverdi

−2,666667

Integralet delt på b − a

F(2) − F(−2) = −5,333333 − 5,333333, der F er stamfunksjonen uten C.

Slik fungerer det

Integralregning er, sammen med derivasjon, kjernen i differensial- og integralregningen som undervises i R2 og S2 på videregående og i første semester på ingeniør- og realfagsstudier. Kalkulatoren finner den ubestemte integralet av et polynom med utregning ledd for ledd, og det bestemte integralet mellom to grenser. I tillegg får du arealet mellom grafen og x-aksen og gjennomsnittsverdien til funksjonen på intervallet.

Slik regnes det

  • Potensregelen: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C for n ≠ −1.
  • Konstant faktor og sum: ∫ (c · f + g) dx = c · ∫ f dx + ∫ g dx.
  • Analysens fundamentalsetning: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), der F er en stamfunksjon.
  • Areal: Finn nullpunktene i intervallet, integrer hvert delintervall og legg sammen absoluttverdiene.

Regneeksempel

Fra f(x) = 3x² − 5x + 2 får vi ∫ f(x) dx = x³ − 5x²/2 + 2x + C. Fra 0 til 3 er det bestemte integralet 10,5. Ta så g(x) = x² − 4 på [−2, 2]. Grafen ligger under x-aksen hele veien, så integralet er −10,666667 og arealet er 10,666667. Skal du gå den andre veien og finne stigningstall og tangent, bruk derivasjonskalkulatoren.

Tabell: stamfunksjoner

f(x)∫ f(x) dx
1x + C
xx²/2 + C
x²x³/3 + C
x³x⁴/4 + C
5x⁴x⁵ + C
3x² − 5x + 2x³ − 5x²/2 + 2x + C
x³ − 3xx⁴/4 − 3x²/2 + C

Tabell: areal under xⁿ fra 0 til 1

f(x)∫₀¹ f(x) dx = 1/(n + 1)
x0,5
x²0,333333
x³0,25
x⁴0,2
x⁵0,166667

Vanlige feil

Studenter glemmer + C i det ubestemte integralet, eller feiltolker et bestemt integral som areal når grafen krysser x-aksen: da utligner positive og negative deler hverandre. Husk også at potensregelen ikke gjelder for x⁻¹ (som gir ln|x|). Vil du undersøke hvor funksjonen har nullpunkter først, kan likningskalkulatoren løse andregradslikninger, og potens- og logaritmekalkulatoren hjelper med potenser.

Kilder: Store norske leksikon – integralregning, Store norske leksikon – derivasjon

Ofte stilte spørsmål

Hva er en integral?
Integralet er det motsatte av derivasjon. Det ubestemte integralet ∫ f(x) dx er alle stamfunksjoner F(x) der F′(x) = f(x), og det bestemte integralet fra a til b er F(b) − F(a). Geometrisk er det arealet mellom grafen og x-aksen, regnet med fortegn.
Hvorfor legger vi til + C?
Konstanter forsvinner når man deriverer, så x², x² + 5 og x² − 3 har alle den deriverte 2x. Derfor er ∫ 2x dx = x² + C for en hvilken som helst konstant C. I et bestemt integral forsvinner C, siden den trekkes fra seg selv i F(b) − F(a).
Hvordan integrerer jeg et polynom?
Bruk potensregelen på hvert ledd: ∫ c · xⁿ dx = c · xⁿ⁺¹ / (n + 1). For 3x² − 5x + 2 får du x³ − 5x²/2 + 2x + C.
Hva er forskjellen på integral og areal?
Integralet regnes med fortegn: områder under x-aksen teller negativt. For f(x) = x² − 4 fra −2 til 2 er integralet −10,666667, mens arealet mellom grafen og x-aksen er 10,666667. Arealet finner du ved å dele opp ved nullpunktene og summere absoluttverdiene, og det gjør kalkulatoren for deg.
Hva er gjennomsnittsverdien til en funksjon?
Middelverdien over [a, b] er integralet delt på (b − a). For f(x) = x² på [0, 3] er integralet 9, og gjennomsnittsverdien er 3.
Hvilke funksjoner støttes?
Polynomer i x med heltallseksponenter, akkurat som i derivasjonskalkulatoren. Funksjoner som sin x, eˣ, 1/x og røtter kan ikke skrives inn, og kalkulatoren gir en beskjed i stedet for et gjettet svar. Substitusjon og delvis integrasjon er ikke med.

Relaterte kalkulatorer

→Derivasjon-kalkulator→Likning-kalkulator→Potens- og logaritme-kalkulator→Stigningstall og lineær funksjon

Alle beregninger skjer i nettleseren din — ingen data lagres eller sendes.