🧮Kalkulatorbanken

Vektor-kalkulator

Regn med vektorer i 2D og 3D: lengde, sum, skalarprodukt, vinkel, kryssprodukt, projeksjon og enhetsvektor. Med formler og eksempler.

Sist oppdatert

Dimensjon
Vektor a
Vektor b

For k · a og k · b.

Lengde |a|

5

|b| = 2,2361

Skalarprodukt a · b

5

Vinkel mellom a og b

63,43°

a + b

[2, 6]

a − b

[4, 2]

2 · a

[6, 8]

2 · b = [−2, 4]

Kryssprodukt (z-komponent)

10

Parallellogramareal 10, trekant 5

Enhetsvektor for a

[0,6, 0,8]

Projeksjon av a på b

[−1, 2]

Retning for a

53,13°

Fra positiv x-akse, mot klokka

Slik fungerer det

Vektorer brukes i matematikk, fysikk og programmering for å beskrive noe som har både størrelse og retning. Denne kalkulatoren regner på to vektorer a og b i planet (2D) eller rommet (3D): lengde, sum og differanse, multiplikasjon med tall, skalarprodukt, vinkelen mellom dem, kryssprodukt, projeksjon, enhetsvektor og areal. Du får svaret med hver størrelse ferdig regnet, slik at du kan sjekke lekser og oppgaver mot fasit.

Formler

  • Lengde: |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)
  • Sum og differanse: a ± b = [a₁ ± b₁, a₂ ± b₂, a₃ ± b₃]
  • Skalarprodukt: a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a| |b| cos v
  • Vinkel: cos v = (a · b) / (|a| |b|)
  • Kryssprodukt (3D): a × b = [a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁]
  • Projeksjon av a på b: ((a · b) / |b|²) · b
  • Enhetsvektor: a / |a|

Eksempel i planet

La a = [3, 4] og b = [−1, 2]. Lengden av a er 5. Summen er [2, 6], skalarproduktet er 5, og vinkelen mellom vektorene er 63,43°. Projeksjonen av a på b er [−1, 2], og enhetsvektoren for a er [0,6, 0,8]. Parallellogrammet som a og b spenner ut har areal 10, så trekanten mellom dem har areal 5. Retningen til a er 53,1° fra x-aksen. Trenger du å regne vinkler videre, se trigonometri-kalkulatoren.

Tabell: vinkel og skalarprodukt

Fortegnet på skalarproduktet forteller om vinkelen er spiss, rett eller stump.

Situasjona og ba · bVinkel
Parallelle, samme retning[2, 0] og [5, 0]100°
Vinkelrette[2, 0] og [0, 5]090°
Motsatt retning[2, 0] og [−3, 0]−6180°
45 grader[1, 0] og [1, 1]145°

Vanlige feil

Skalarproduktet er et tall, kryssproduktet er en vektor, og de to må ikke blandes. Kryssprodukt finnes bare i 3D (for 2D-vektorer regner kalkulatoren z-komponenten, som gir det signerte arealet). Vinkelen mellom to vektorer er alltid mellom 0° og 180°, selv om retningene deres er større enn det. Husk at vektor AB er B minus A, ikke omvendt. Skal du regne lengde i en rettvinklet trekant, kan du også bruke Pytagoras-kalkulatoren.

Kilder: Store norske leksikon – vektor, Store norske leksikon – skalarprodukt, Store norske leksikon – vektorprodukt

Ofte stilte spørsmål

Hva er en vektor?
En vektor er en størrelse med både lengde og retning, og skrives som koordinater, for eksempel [3, 4]. Forflytning, kraft og hastighet er vektorer, mens masse og temperatur er skalarer (bare tall).
Hvordan regner jeg ut lengden av en vektor?
Lengden er kvadratroten av summen av kvadratene til koordinatene. For [3, 4] er den √(3² + 4²) = 5. I 3D legger du til z-leddet: [2, 3, 6] har lengde √(4 + 9 + 36) = 7.
Hva er skalarproduktet og hva brukes det til?
Skalarproduktet a · b = a₁b₁ + a₂b₂ (+ a₃b₃) er et tall. For a = [3, 4] og b = [−1, 2] blir det 5. Det er lik |a| · |b| · cos v, så du kan finne vinkelen (her 63,4°), og er det 0, står vektorene vinkelrett på hverandre.
Hva er kryssproduktet?
Kryssproduktet a × b finnes bare i 3D og gir en ny vektor som står vinkelrett på både a og b. For [1, 2, 3] × [4, 5, 6] blir det [−3, 6, −3]. Lengden er lik arealet av parallellogrammet som a og b spenner ut.
Hvordan finner jeg vektoren mellom to punkter?
Trekk startpunktet fra sluttpunktet, koordinat for koordinat. Fra A(1, 1) til B(4, 5) er vektoren AB = [4 − 1, 5 − 1] = [3, 4], med lengde 5. Lengden er avstanden mellom punktene.
Hvordan gjør jeg om mellom polar form og koordinater?
Fra lengde l og retning v: x = l · cos v og y = l · sin v. Lengde 10 i retning 30° gir [8,66, 5]. Motsatt er l = √(x² + y²) og v = arctan(y/x), justert for kvadrant. Se trigonometri-kalkulatoren for sinus, cosinus og tangens.

Relaterte kalkulatorer

→Trigonometri-kalkulator→Pytagoras-kalkulator→Likning-kalkulator→Derivasjon-kalkulator

Alle beregninger skjer i nettleseren din — ingen data lagres eller sendes.